1989 年全美数学教师理事会发表了《美国学校数学课程与评价标准》( 以下简称《课程标准》) , 明确地把“数学交流”列为课程的5 个总目标之一。在他们看来, 学习数学的主要目的在于应用, 而应用数学的过程即是数学交流的过程。《课程标准》在论述数学交流时指出: “发展学生应用数学的能力..最佳途径是通过问题情境, 使学生有机会阅读、写作和讨论思想, 从而自然地应用数学语言。” [1] 为了达成这一目标, 《课程标准》详细制定了幼儿园—4 年级、5—8 年级、9—12 年级各学段有关数学交流的具体要求。譬如: 对于5—8 年级的要求是: 用口头、书面的语言及具体的图画、图表和代数的方法模拟情景; 反映并理清对数学思想和情景的认识; 发展对数学思想的一般理解, 包括定义的作用; 运用读、听和观察的技能来评估数学思想; 讨论数学思想, 进行推断、澄清疑问; 欣赏数学符号的价值及其在数学思想发展中的作用。
2000 年颁布的《美国学校数学教育的原则和标准》( 以下简称《原则与标准》) , 是对《课程标准》的进一步发展。《原则与标准》共列10 条标准, 前5 条涉及的是数学内容, 包括数与运算、代数、几何、度量、数据分析与概率; 后5 条涉及的是过程, 包括问题解决、推理与证明、交流、关联、表征。前者具体指明了学生应当知道什么, 后者则明确了实现上述目标的具体途径。《原则与标准》对“数学交流”给予了特别的关注。首先在“总标准”中论述了“数学交流”的重点和主要观点, 概括讨论了如何在4 个学段发展和具体实现学生的数学交流, 特别指出从学前期到十二年级的数学 教育在“数学交流” 方面应达到的共同要求, 即: “通过交流组织和巩固他们的数学思维”, 使之能“清楚连贯地与同伴、教师或其他人交流他们的数学思维” “分析和评价他人的数学思维和策略” “用数学语言精确地表达数学观点” [2]。以“总标准” 为依据, 《原则与标准》分别对4 个学段—— 学前期—2 年级、3—5 年级、6—8 年级、9—12 年级, 结合丰富的实例具体描述了数学交流的“理想状态”以及教师在其中应发挥的作用。从课程的总目的看, 数学交流事实上包括了两个方面: 通过交流学习数学; 学会数学地交流。从交流的方式看, 数学交流包括听、说、读、写4 种基本形式。从交流的内容看, 数学交流既关涉知识形态的交流, 也关涉情感形态的交流。从交流的主体看, 数学交流包括师生交流、生生交流、生本交流以及自我交流等。
二美国学校数学教育中“数学交流”的特点
仔细分析《原则与标准》, 不难发现, 美国数学教育中的“数学交流”呈现以下一些特点。
1 强调数学交流在数学理解中的作用
美国的数学教育之所以如此重视数学交流, 原因就在于其充分认识了数学交流在促进学生数学理解方面的重要作用。首先, 通过数学交流的驱动力作用, 学生可以在非正式的、直觉的观念与抽象的数学语言之间建立起联系, 从而加深对数学概念的理解。对此, 《原则与标准》通过许多实例给予了解释和说明。其次, 数学交流可以使学生对自己的数学思想进行组织和澄清。组织和澄清的过程也是一个反思的过程, 它有利于“反思、精炼、讨论和修正数学观点, 也有助于理解观点的意义” [2]。最后, 数学交流可以使学生的数学思维具有可见性。在此基础上, 教师通过调整、理顺、激活学生的思维, 使学生间的思维差异得到补救, 从而达到促进深层理解、完善认知结构的目的。同时, 对他人思维策略的考察也有助于学生学会批判性的思维。也就是说, “从多种角度探讨数学思想的交谈, 有助于参与者改进他们的思路并做出有机的联系。参与为自己的解答过程辩护的讨论, 特别在答案不一致的情况下, 学生说服持不同观点的同伴的同时, 也加深了自己对数学的理解” [2]。
2 注重“数学写作”的交流形式
美国的数学教育特别重视“数学写作”这种交流形式。“数学写作”不是对数学知识与解题过程进行简单的书面表达, 它具有明显的反思特征。学生进行数学写作的过程, 也是对数学知识进行整理和再认识的过程。这一过程可以使学生的思维变得清晰, 也能使教师详细地了解学生的思维过程。正如《原则与标准》所表明的: “数学中的写作能帮助学生巩固他们的思维, 因为这需要他们对解答过程的反思和搞清楚在课堂上形成的对数学概念的认识。以后他们也许发现重读自己思维过程的书面记录是有帮助的。” [2] 数学写作的形式多种多样。例如: 让学生对他们在一堂课或几堂课中所学到的知识和还不明了的内容写出评论; 为了清楚地解释他们的想法, 学生可以给更年轻的学生写一封信, 解释一个较难的概念。[2] “数学日记”是许多美国教师常用的一种数学写作方式。“数学日记”的内容和操作方式非常灵活。例如: 美国教师C.斯图亚特( Carolyn Stewart) 将“数学日记”的写作安排在课堂上进行, 其内容包括以下3 个方面, 但每次只进行其中一个方面的活动: 1) 数学概念和计算推理程序。比如: 在讲完有理数的减法后, 让学生在“数学日记”中表述一下自己对“减去一个数等于加上这个数的相反数”这个运算的理解并举例说明。2) 对教学过程和方式的评价。允许学生对课程内容、课堂讲授方式以及课外活动、作业、考试等各类问题发表意见。3) 自由发表意见。学生可以自由地表达自己关心的或者渴望倾诉的问题, 其中包括自己的成就、失望以及学习中存在的问题, 等等。[3]
3 注重数学交流的评价
《课程标准》中的“评价标准”部分专门列有一节( 标准6) 论述数学交流的评价。该部分指出: 评价学生的数学交流能力, 应提供证据表明学生能够“通过口头表达、书写、证明和形象描述的方式来表达数学思想; 理解、表述和评论通过文字、口头或图像形式表达的数学思想; 使用数学词汇、记号和语法来表达思想, 描述关系, 建立模型” [1]。在此基础上, 《课程标准》具体阐述了幼儿园- 4 年级、5- 8 年级、9- 12 年级数学交流评价的要求和方式。《原则与标准》是在《课程标准》的基础上修订而成的, 它虽然没有明确地提出数学交流的评价问题, 但处处体现了对数学交流评价的重视。
4 强调教师在数学交流中的重要作用
《原则与标准》对数学交流的阐述均从两个方面进行, 即: 学生的数学交流应该是什么样的? 教师在发展学生的数学交流中应扮演什么样的角色? 后一部分详细论述了教师在数学交流中的重要地位及其应发挥的主要作用。概括而言, 主要包括3 个方面: 第一, 建立课堂上支持全体学生学习的学习共同体。为此, “教师需要创设一种相互信任、相互尊重的气氛, 这一气氛的取得可以通过在学生本人和同学们为他们的数学学习而承担责任时给予支持。” [2] 第二, 选择和使用能出现有意义的交流的数学活动。为此, 教师在设计数学活动时, 应使其与重要的数学概念有关, 有不同的解题方法。同时, 教师要允许多种不同方法表征的存在, 给学生以解释、提供依据和做出猜想等的时间。第三, 教师对课堂讨论的指导应建立在对学生学习观察的基础上。“教师必须帮助学生理清他们的论述, 把注意力集中在问题的条件及其数学意义上, 并且提炼他们的思想。” [2]
三对我国数学教育改革的启示
1 应进一步加强数学交流在课程与教学中的地位
近年来, 我国数学教育理论界逐步认识到“数学交流”的重要价值。教育部2001 年颁布的《全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) 》中提到: “数学..同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段” [4]; “有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆, 动手实践、自主探索与合作交流也是学生学习数学的重要方式” [4]。这里需要指出的是, 数学交流是数学合作学习的一个环节, 不等同于数学合作学习。合作学习的本质特征在于“分工”与“协作”, 其目标不仅在于使学生获得更多、更深刻的数学知识, 还在于培养学生的合作精神与合作能力。而数学交流的实质是信息沟通、思想共享和意义生成, 其根本作用在于促进学生的数学认知与数学理解。但不少研究者包括《数学课程标准》都将二者混为一谈, 笼统、含混地称为“合作交流”。在教学实践中, 人们也往往将数学合作与数学交流等同起来。其实, 这是一个认识上的失误与观念上的误区。2003 年出台的《普通高中数学课程标准( 实验) 》也强调要“提高学生的数学表达和交流的能力” [5]。但从总体上看, 我国的“数学课程标准”对数学交流的重视程度仍然不够, 对数学交流的作用缺乏深入细致的分析, 对数学交流的具体实施形式以及评价等相关问题则几乎没有涉及。
2 教学中实施数学交流应注意的两个问题
(1) 应以数学理解和认知发展作为数学交流的根本目的
现代认知心理学认为, 理解的实质是学习者以信息的传输和编码为基础, 根据已有的信息建构内部心理表征, 进而获得心理意义的过程。数学交流的实质是信息的沟通和意义的生成。美国的学校数学教育之所以如此重视数学交流, 原因就在于他们认识到了数学交流在形成个人深刻理解方面的重要作用。我国目前课堂教学中比较多的是表层的数学交流。这种徒具形式而无实质内容的交流, 不能促进学生的数学认知发展。事实上, 数学交流只有建立在个人深入思考的基础上, 并以促进学生的数学理解和认知发展作为根本目的, 才能起到其应有的作用。所以, 教师在教学中一定要着眼于学生深层次的理解和认知, 并通过数学交流内容和方式的科学选择和设计, 真正促进学生思维的发展。
(2) 应注重自我交流在数学学习中的重要作用
所谓“自我交流”, 就是学习者对自身学习活动的过程以及过程中涉及到的有关事物进行反复思考、质疑批判。①通过自我交流, 学生可以不断地思考和修正思维的策略, 发现和纠正认知的偏差, 从而达到对数学知识本质的理解; 可以使内隐的思维过程激活和显现, 实现对数学认知结构的整理和重组。目前我国“一言堂” 式的课堂教学阻碍了师生的多向交流与互动, 也未给学生的自我交流留下空间和机会, 使数学交流局限于“他—我”的外部交流形式, 这不能不引起我们的重视。
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